FLA教師說(shuō) | 數(shù)學(xué)之美：環(huán)而共盤的妙趣

　　勾股定理，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《周髀算經(jīng)》的開篇定理，也是數(shù)學(xué)著作《幾何原本》第一卷中的倒數(shù)第二個(gè)命題，而最后一個(gè)命題則是勾股定理的逆定理。要知道，《幾何原本》是全世界流傳度排名第二的書籍，僅次于《圣經(jīng)》。這么重要的一部數(shù)學(xué)著作，會(huì)將勾股定理及其逆定理作為第一卷最核心的命題，其重要地位不言而喻。不僅如此，勾股定理長(zhǎng)期以來(lái)都不斷吸引一眾數(shù)學(xué)家及愛好者們孜孜不倦投入熱情，古今中外，對(duì)這一定理的證明就逾五百種，這樣的魅力不得不讓人驚嘆。

　　在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要逐步建立對(duì)平面幾何的系統(tǒng)化認(rèn)識(shí)，而勾股定理在這其中發(fā)揮著舉足輕重的作用。在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，涉及的證明和應(yīng)用都能極大地幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，推動(dòng)他們從直觀的幾何認(rèn)識(shí)過渡到邏輯化幾何推演。接下來(lái)讓我們看看，在FLA，七年級(jí)的學(xué)生們接觸到這一定理時(shí)，與什么樣的美好不期而遇了呢?

　　定理證明

　　七年級(jí)的孩子們是在《周髀算經(jīng)》中周公與商高的一段對(duì)話中初識(shí)勾股定理的。當(dāng)中的關(guān)鍵話語(yǔ)“半之一矩，環(huán)而共盤……”引發(fā)了孩子們的思考：“半之一矩，環(huán)而共盤”是什么操作?這和勾股定理有什么關(guān)系呢?

　　“半之一矩”即將一個(gè)矩形分成兩半，那么“半之一矩”會(huì)得到什么呢?結(jié)合勾股定理的三角形教學(xué)主題，孩子們迅速鎖定了用對(duì)角線將一個(gè)矩形分為兩個(gè)直角三角形的方式，并借助3D打印教室制作的帶鉸鏈三角形開始重演“環(huán)而共盤”之旅。一番思考下來(lái)，班中的孩子們得到了兩種“環(huán)而共盤”的方式

　　很快，同學(xué)們通過假設(shè)兩條直角邊為a和b，斜邊為c，找到了兩個(gè)圖中的奧秘：

　　大正方形的面積(邊長(zhǎng)為a+b)，等于小正方形的面積(邊長(zhǎng)為c)加上4個(gè)小三角形的面積(每個(gè)小三角形的面積為a*b*½)，可推導(dǎo)出勾股定理。

　　大正方形的面積(邊長(zhǎng)為c)，等于4個(gè)小三角形的面積(每個(gè)小三角形的面積為a*b*½)加上小正方形的面積(邊長(zhǎng)為a-b)，可推導(dǎo)出勾股定理。

　　也就是說(shuō)，這兩種“環(huán)而共盤”的方式都可以推導(dǎo)出勾股定理，因此我們有十足的把握說(shuō)，《周髀算經(jīng)》上所說(shuō)的“半之一矩，環(huán)而共盤”確實(shí)是勾股定理的證明。

　　另外，不少孩子注意到，上述兩種證明都用到了完全平方公式，而完全平方公式有以下幾何解釋。當(dāng)我們將兩圖放置在一起，竟然有一個(gè)更為顯然的證明方法橫空出世!不需要過多贅述，圖片說(shuō)明一切。

　　值得一提的是，利用FLA的3D打印機(jī)制作的帶鉸鏈三角形，首尾相連后，通過旋轉(zhuǎn)就可以達(dá)到“環(huán)而共盤”的效果，而且順時(shí)針及逆時(shí)針兩種環(huán)繞方向，就可以分別獲得兩種環(huán)繞形態(tài)，著實(shí)是個(gè)好用的學(xué)具。

　　聽說(shuō)勾股定理有很多種證明方式后，孩子們也不甘于只停留在這三種證明上。在老師的引導(dǎo)下，他們先后將《幾何原本》中的證明，以及希爾伯特、劉徽等數(shù)學(xué)家給出的經(jīng)典證明都重新推演了一遍。在不同的證明方式中體驗(yàn)不一樣的奇思妙想，并發(fā)現(xiàn)了中外幾何證明上的“等量減等量差相等”、剖分等價(jià)、割補(bǔ)等價(jià)等一系列思維模式的特點(diǎn)，可以說(shuō)，每一次證明都有一種全新的體驗(yàn)。

　　勾股定理的應(yīng)用

　　既然是從古籍開始學(xué)習(xí)勾股定理，那么，循著這個(gè)思路繼續(xù)往下，讓我們也從古籍中學(xué)習(xí)勾股定理的應(yīng)用吧!

　　剛遇到這些題目時(shí)，孩子們內(nèi)心的陰影面積是極大的，直呼簡(jiǎn)直太難了!但經(jīng)過認(rèn)真思考后，竟然覺得還挺有意思的，一不小心就在FLA打開了通往詩(shī)意數(shù)學(xué)的一扇門。

　　而且，既然從勾股定理中得知：給定任意兩個(gè)正方形，我們總能找到與這兩個(gè)正方形面積相等的一個(gè)大正方形，那么，我們是否可以將一張正方形紙片，通過裁剪，使之可以拼湊出兩個(gè)小正方形呢?具體的分割線又該如何設(shè)計(jì)呢?這個(gè)問題瞬間將數(shù)學(xué)課調(diào)頻至手工課，學(xué)生們又開啟了新一輪的探索之旅。

　　勾股定理的拓展

　　在勾股定理的多種證明方式里面，往往夾帶著許多有趣的思考內(nèi)容，例如在對(duì)正方形進(jìn)行剖分拼補(bǔ)的過程中，很容易聯(lián)想到地磚的平鋪問題。

　　眾所周知，邊長(zhǎng)相等的正方形可以鋪滿平面，而勾股定理讓我們知道任意兩個(gè)正方形的面積之和實(shí)際上也是某一個(gè)正方形的面積，于是我們就可以實(shí)現(xiàn)用大小不一的兩種正方形，同樣能鋪滿平面的方式了，這也就是畢達(dá)哥拉斯地磚(Pythagorean Tilings)!

　　熟悉勾股定理后，孩子們發(fā)現(xiàn)像(3，4，5)、(5，12，13)這樣由三個(gè)自然數(shù)構(gòu)成的勾股數(shù)組其實(shí)不那么好找，并不是任意給兩個(gè)自然數(shù)就能找到第三個(gè)自然數(shù)能與之構(gòu)成勾股數(shù)組，那么滿足什么條件的三個(gè)自然數(shù)才可以生成勾股數(shù)組呢?帶著這一疑問，學(xué)生們又開始了對(duì)勾股數(shù)組的構(gòu)造探究。

　　另外，關(guān)于 的整數(shù)解還能夠牽出一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題——費(fèi)馬大定理(當(dāng)n>2時(shí)，不定方程 沒有正整數(shù)解)。所學(xué)的勾股定理，看似普普通通，卻能導(dǎo)向一個(gè)歷經(jīng)358年才終于得證的命題，這一事實(shí)著實(shí)讓孩子們感到驚奇。

　　勾股定理并不是一個(gè)教學(xué)新名詞。但是，在FLA的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生們從這個(gè)數(shù)學(xué)大廈中的古老命題出發(fā)，用剪紙、繪圖等多種方式探索和體驗(yàn)勾股定理背后的學(xué)問。同學(xué)們既能在古文中嘆服于前人的智慧，又能在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的問題中感受到其鮮活的溫度，并由此產(chǎn)生了一連串的奇妙體驗(yàn)，這或許就是在數(shù)學(xué)世界遨游愛麗絲仙境吧!

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